2.5.2. Уравнение поперечных колебаний мембраны
Мембраной называют свободно изгибающуюся натянутую пленку.
Дифференциальное уравнение поперечных колебаний мембраны имеет
следующий вид (А+С):
2 2 2
2 2 2
, , , ,
u u u
x y T g x y t
t x y



где мембрана находится под действием равномерного натяжения
,T
приложенного к краям мембраны;
,xy
– поверхностная плотность
мембраны;
,,g x y t
– внешняя сила, действующая на мембрану
параллельно оси Ou.
В случае однородной мембраны
, constxy
уравнение малых
колебаний мембраны можно записать в виде
2 2 2
2
2 2 2
, , ,
u u u
a f x y t
t x y



(2.31)
где
,
T
a
xy
,
,,
,,
,
g x y t
f x y t
xy
.
Уравнение (2.31) называется двумерным волновым уравнением.
Если внешняя сила отсутствует, т. е.
то из (2.31)
получаем уравнение свободных колебаний однородной мембраны:
2 2 2
2
2 2 2
u u u
a
t x y




или
2
2
2
u
au
t

.
Краевые задачи для (2.31) ставятся аналогично п. 2.5.1.